Question

20．記[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.2]=1，[0.5]=0，則方程[x]-x=lnx的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 設(shè)y=[x]-x-lnx，則x＞0．當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，y=[x]-x-lnx=-x-lnx，當(dāng)x=1時(shí)，y=0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，[x]-x≤0，lnx＞0，[x]-x-lnx恒小于0，由此能求出方程[x]-x=lnx的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．

解答 解：設(shè)y=[x]-x-lnx，則x＞0．
①當(dāng)x∈（0，1），y=[x]-x-lnx=-x-lnx，
∵x∈（0，1）時(shí)，${y}^{'}=-1-\frac{1}{x}$＜0，
∴y=[x]-x-lnx=-x-lnx在（0，1）上是減函數(shù)，
$\underset{lim}{x→0}（-x-lnx）$=+∞，
當(dāng)x=1時(shí)，y=0，
∴方程[x]-x=lnx在（0，1]內(nèi)有1 個(gè)實(shí)數(shù)根．
②當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，[x]-x≤0，lnx＞0，
∴[x]-x-lnx恒小于0，
∴方程[x]-x=lnx在（1，+∞）內(nèi)無實(shí)數(shù)根．
綜上，方程[x]-x=lnx的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為1個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)知識(shí)的合理運(yùn)用．