Question

已知函數(shù)f（x）=，（x≠0）（a≠0）．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)a＞0時，函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間內(nèi)有反函數(shù)，試求出實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）①當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-，0）及（0，），
②當(dāng)0＜a≤1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0）及（0，+∞），
③當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-）及（，+∞）．
（2）由題設(shè)及（1）中③知=且a＞1，解得a=3，
因此函數(shù)解析式為f（x）=（x≠0）．
（3）1#當(dāng)a（a-1）＞0即a＜0或a＞1時
由圖象知≥解得a∈（-∞，]∪[，+∞）
2#當(dāng)a=1時，函數(shù)為正比例函數(shù)，故在區(qū)間內(nèi)存在反函數(shù)，所以a=1成立．
3#當(dāng)a（a-1）＜0，得到＜，從而得a∈（，）
綜上a∈∈（-∞，]∪（，）∪{1}∪[，+∞）
分析：（1）討論a，分為a＜0，0＜a≤1，a＞1，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）中a＞1時的單調(diào)區(qū)間可知=且a＞1，解得a的值；
（3）欲使函數(shù)f（x）在區(qū)間內(nèi)有反函數(shù)即在該區(qū)間上單調(diào)，討論a（a-1）的正負(fù)可求出所求．
點評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的反函數(shù)，同時考查了不等式的解法和計算能力，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．