【題目】已知函數(shù).

（1）若.證明函數(shù)有且僅有兩個零點；

（2）若函數(shù)存在兩個零點，證明：.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）當時，函數(shù)，定義域為，利用導數(shù)分析其單調性，使在單調遞減，在單調遞增，進而分別計算并判斷，，與零的大小比較，最后由零點的存在性定理即可確定零點的個數(shù)；

（2）由是函數(shù)的兩個零點，知，進而表示，再由分析法逐步反推不等式，最后令，構造函數(shù)，由（1）的單調性分析，表示最小值并由雙勾函數(shù)證得，即可得證.

（1）由題可知，定義域

當時，函數(shù)，則，（為的導函數(shù)）

單調遞增

，

使.

時，單調遞減；時，單調遞增

所以

由雙勾函數(shù)性質可知，在遞減，，，且，

在上有且只有一個零點

又，且

所以在上有且只有一個零點

綜上，函數(shù)有且僅有兩個零點

（2）由是函數(shù)的兩個零點，知

要證

需證

令

需證

令

與（1）同理得

所以

故

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】多面體歐拉定理是指對于簡單多面體，其各維對象數(shù)總滿足一定的數(shù)量關系，在三維空間中，多面體歐拉定理可表示為：頂點數(shù)＋表面數(shù)－棱長數(shù)＝2.在數(shù)學上，富勒烯的結構都是以正五邊形和正六邊形面組成的凸多面體，例如富勒烯（結構圖如圖）是單純用碳原子組成的穩(wěn)定分子，具有60個頂點和32個面，其中12個為正五邊形，20個為正六邊形.除外具有封閉籠狀結構的富勒烯還可能有，，，，，，，等，則結構含有正六邊形的個數(shù)為（ ）

A.12B.24C.30D.32

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【題目】某城市對一項惠民市政工程滿意程度（分值：分）進行網(wǎng)上調查，有2000位市民參加了投票，經統(tǒng)計，得到如下頻率分布直方圖（部分圖）：

現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有參與網(wǎng)上投票的市民中隨機抽取位市民召開座談會，其中滿意程度在的有5人．

（1）求的值，并填寫下表（2000位參與投票分數(shù)和人數(shù)分布統(tǒng)計）；

滿意程度（分數(shù)）

人數(shù)

（2）求市民投票滿意程度的平均分（各分數(shù)段取中點值）；

（3）若滿意程度在的5人中恰有2位為女性，座談會將從這5位市民中任選兩位發(fā)言，求男性甲或女性乙被選中的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】(2017·衢州調研)已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AD的中點M是頂點P在底面ABCD的射影，N是PC的中點.

(1)求證：平面MPB⊥平面PBC；

(2)若MP＝MC，求直線BN與平面PMC所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2020年寒假，因為“新冠”疫情全體學生只能在家進行網(wǎng)上學習，為了研究學生網(wǎng)上學習的情況，某學校隨機抽取名學生對線上教學進行調查，其中男生與女生的人數(shù)之比為，抽取的學生中男生有人對線上教學滿意，女生中有名表示對線上教學不滿意.

（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有的把握認為“對線上教學是否滿意 與性別有關”；

態(tài)度

性別

滿意

不滿意

合計

男生

女生

合計

100

（2）從被調查的對線上教學滿意的學生中，利用分層抽樣抽取名學生，再在這名學生中抽取名學生，作線上學習的經驗介紹，求其中抽取一名男生與一名女生的概率.

附：.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】如圖，在三棱錐中，是邊長為2的正三角形，是等腰直角三角形，.

（I）證明：平面平面ABC；

（II）點E在BD上，若平面ACE把三棱錐分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值.

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【題目】已知點（1，e），（e，）在橢圓上C：1（a＞b＞0），其中e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線l經過C的上頂點且l與拋物線M：y2＝4x交于P，Q兩點，F為橢圓的左焦點，直線FP，FQ與M分別交于點D（異于點P），E（異于點Q），證明：直線DE的斜率為定值.

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【題目】如圖，正方形與正方形所成角的二面角的平面角的大小是是正方形所在平面內的一條動直線，則直線與所成角的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

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【題目】某高校設計了一個實驗學科的實驗考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作．規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提交通過．已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成．

（1）求出甲考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計算數(shù)學期望；

（2）若考生乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響．試從至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的實驗操作能力．

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