Question

（2008•南京模擬）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
把參數(shù)方程

x= 1-t2 t2+1 y= 4t t2+1

（t是參數(shù)）化為普通方程，并說明它表示什么曲線．

Answer 1

分析：將參數(shù)方程化為普通方程，其手段即為消參數(shù)，消參數(shù)要根據(jù)題設(shè)中條件選擇方法
法一：對參數(shù)方程進(jìn)行整理得

2

t2+1

=x+1  ①，又

4t

t2+1

=y  ②，兩式相除得到t=

y

2(x+1)

 再代入

2

t2+1

=x+1 即可消去參數(shù)得到普通方程；
法二：由題設(shè)，可令x=

1-t2

t2+1

，①，y=

4t

t2+1

②，觀察其形式發(fā)現(xiàn)，由①²+（

②

2

）²即可消去參數(shù)，求得普通方程；

解答：解：法一：由x=

1-t2

t2+1

，得x=-1+

2

t2+1

，即

2

t2+1

=x+1  ①，又

4t

t2+1

=y  ②，
②÷①得：t=

y

2(x+1)

 ③，（3分）
將③代入①得 x+1=

2

( y 2(x+1) )2+1

，
整理得：x²+

y2

4

=1．   …（6分）
因?yàn)閠²+1≥1，所以x=-1+

2

t2+1

∈（-1，1]，
所求普通方程為x²+

y2

4

=1 （x≠-1）．…（8分）
法二：由x=

1-t2

t2+1

，①，
y=

4t

t2+1

②，
①²+（

②

2

）²得x²+

y2

4

=1．   …（6分）
因?yàn)閠²+1≥1，所以x=-1+

2

t2+1

∈（-1，1]，
所求普通方程為x²+

y2

4

=1 （x≠-1）．…（8分）

點(diǎn)評：本題考查將參數(shù)方程化為普通方程，考查了代入法消去參數(shù)與組合法消去參數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握住消去參數(shù)的方法原理，方法一代入法法消去參數(shù)是常規(guī)方法，具有一般性，方法二通過對形式組合整體消去參數(shù)，技巧性較高，需要答題者有較強(qiáng)的觀察能力及對條件進(jìn)行變形整理的能力．