如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1，已知側面BB1C1C與底面ABC垂直，且∠BCA=90°，∠B1BC=60°，BC=BB1=2，若二面角A-B1B-C為30°．

(Ⅰ)求證：AC上平面BB1C1C；

(Ⅱ)求AB1與平面BB1C1C所成角的正切值；

(Ⅲ)在平面AA1B1B內找一點P，使三棱錐P-BB1C為正三棱錐，并求點P到平面BB1C的距離．

解：(1)∵面BB1C1C⊥面ABC，交線為BC，

AC⊥BC，∴AC⊥面BB1C1C 

(Ⅱ)連B1C，由(1)知AC⊥平面BB1C1C，

∴∠CB1A就是AB1與平面BB1C1C所成的角．

取BB1中點E，連CE、AE，

在△CBB1中，BB1=BC=2，∠B1BC=60°，

∴△CBB1是正三角形，∴CE⊥BB1，

又AC⊥平面BB1C1C，．∴AE⊥BB1，

∴∠CEA為二面角A-BB1-C的平面角，∠CEA=30°

在Rt△CEA中，AC=CEtan30°=1，

∴在Rt△AB1C中，tan∠AB1C=，

(Ⅲ)在CE上取點P1,使=2，

則P1為△B1BC的重心即中心．作P1P∥AC交AE于P

∵AC⊥平面BB1C1C，∴PP1⊥面BB1C1C，

即P在平面B1C1C上的射影是△BCB1中心

∴P- BB1C為正三棱錐，且，∴PP1=，

即P到平面BB1C的距離為

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相關習題

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精英家教網(wǎng)已知如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1的側面A1ACC1與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2
3
，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．
（1）求側棱A1A與底面ABC所成角的大��；
（2）求側面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小；
（3）求頂點C到側面A1ABB1的距離．

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精英家教網(wǎng)如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1⊥BC1，AB⊥AC，AB=3，AC=2，側棱與底面成60°角．
（1）求證：AC⊥面ABC1；
（2）求證：C1點在平面ABC上的射影H在直線AB上；
（3）求此三棱柱體積的最小值．

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精英家教網(wǎng)如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1的側面AA1C1C是面積為
3
2
的菱形，∠ACC1為銳角，側面ABB1A1⊥側面AA1C1C，且A1B=AB=AC=1．
（Ⅰ）求證：AA1⊥BC1；
（Ⅱ）求三棱錐A1-ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，AC⊥CB，∠ABC=45°，側面A1ABB1是邊長為a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB=60°，E、F分別是AB1、BC的中點．
（1）求證EF∥平面A1ACC1；
（2）求EF與側面A1ABB1所成的角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•濰坊二模）如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1，側面BB1C1C⊥底面ABC，△BC1C是等邊三角形，AC⊥BC，AC=BC=4．
（1）求證：AC⊥B
C
 
1
；
（2）設D為BB1的中點，求二面角D-AC-B的余弦值．

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