Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+ax+11

x+1

（a∈R），若對于任意的X∈N^*，f（x）≥3恒成立，則a的取值范圍是

a≥-

8

3

．

Answer 1

分析：由于x∈N^*，可將f（x）=

x2+ax+11

x+1

≥3轉(zhuǎn)化為a≥-

8

x

-x+3，再令g（x）=-

8

x

-x+3（x∈N^*），利用其單調(diào)性可求得g（x）_max，從而可得答案．

解答：解：∵x∈N^*，
∴f（x）=

x2+ax+11

x+1

≥3恒成立?x²+ax+11≥3x+3恒成立，
∴ax≥-x²-8+3x，又x∈N^*，
∴a≥-

8

x

-x+3恒成立，
∴a≥g（x）_max，
令g（x）=-

8

x

-x+3（x∈N^*），再令h（x）=x+

8

x

（x∈N^*），
∵h(yuǎn)（x）=x+

8

x

在（0，2

2

]上單調(diào)遞減，在[2

2

，+∞）上單調(diào)遞增，而x∈N^*，
∴h（x）在x取距離2

2

較近的整數(shù)值時達(dá)到最小，而距離2

2

較近的整數(shù)為2和3，
∵h(yuǎn)（2）=6，h（3）=

17

3

，h（2）＞h（3），
∴當(dāng)x∈N^*時，h（x）_min=

17

3

．又g（x）=-

8

x

-x+3=-h（x）+3，
∴g（x）_max=-

17

3

+3=-

8

3

．
∴a≥-

8

3

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)恒成立問題，依題意得到a≥-

8

x

-x+3是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)的思想，考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，思維度深，屬于難題．