Question

已知點(diǎn)M（1，A），N（4，-A）是函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）一個周期內(nèi)圖象上的兩點(diǎn)，函數(shù)f（x）的圖象與y軸交于點(diǎn)P，滿足

PM

•

PN

=1．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f(x)-

3

在區(qū)間[0，6]內(nèi)的零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由題意求出函數(shù)周期，代入周期公式求得ω的值，再由f（1）=A結(jié)合φ的范圍求得φ值，由x為0求出P的坐標(biāo)，結(jié)合

PM

•

PN

=1求得A的值，則f（x）的表達(dá)式可求；
（Ⅱ）把f（x）的解析式代入y=f(x)-

3

，整理后由y=0直接求解在區(qū)間[0，6]內(nèi)x的值．

解答： 解：（I）∵點(diǎn)M（1，A），N（4，-A）是函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）一個周期內(nèi)圖象上的兩點(diǎn)，
∴

T

2

=4-1=3，T=

2π

ω

=6，ω=

π

3

； 
由f（1）=A，得Asin(

π

3

+φ)=A，∴sin（

π

3

+φ）=1，
又-

π

2

＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

6

；
又f(0)=Asin

π

6

=

A

2

，∴P(0，

A

2

)，
∴

PM

=(1，

A

2

)，

PN

=(4，-

3

2

A)，
由

PM

•

PN

=1，得4-

3

4

A2=1，∴A=2．
∴f(x)=2sin(

π

3

x+

π

6

)；
（II）∵x∈[0，6]，∴

π

3

x+

π

6

∈[

π

6

，

13π

6

]，
∴y=f(x)-

3

=2sin(

π

3

x+

π

6

)-

3

，
由y=0，得sin(

π

3

x+

π

6

)=

3

2

，
∴

π

3

x+

π

6

=

π

3

或 

π

3

x+

π

6

=

2π

3

，
得x=

1

2

或x=

3

2

．
∴函數(shù)y=f(x)-

3

在區(qū)間[0，6]內(nèi)的零點(diǎn)為

1

2

，

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查了函數(shù)解析式的求法，訓(xùn)練了函數(shù)零點(diǎn)的求解方法，解答此題的關(guān)鍵是由題意得到周期，是中檔題．