【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)且時(shí),證明:.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減;(2)證明見解析.
【解析】分析:(1)先求導(dǎo),再對m分類討論,求函數(shù)f(x)的單調(diào)性.(2)先把問題等價(jià)轉(zhuǎn)化,,再構(gòu)造函數(shù)設(shè)函數(shù)求即得證.
詳解:(1)的定義域?yàn)?/span>,
①當(dāng)時(shí),;
②當(dāng)時(shí),令,得,令,得,
綜上所述:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.
(2)當(dāng)時(shí),,
設(shè)函數(shù),則,記,,
則,當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:
- | 0 | + | |
單調(diào)遞減 | 極小值 | 單調(diào)遞增 |
由上表可知而,
由,知,所以,所以,即,
所以在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),
即當(dāng)且時(shí),,
所以當(dāng)且時(shí),總有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求圖中的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均分,眾數(shù),中位數(shù);
(3)若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)()與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)()之比如下表所示,求數(shù)學(xué)成績在[50,90)之外的人數(shù).
分?jǐn)?shù)段 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) |
1:1 | 2:1 | 3:4 | 4:5 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a≥2,不等式logax+loga[(a+1)ak-1-x]≥2k-1的解集為A,其中a∈N*,k∈N.
(1)求A.
(2)設(shè)f(k)表示A中自然數(shù)個(gè)數(shù),求和Sn=f(1)+f(2)+…+f(n).
(3)當(dāng)a=2時(shí),比較Sn與n2+n的大小,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是定義在上的偶函數(shù),且滿足,若當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ( )
A. 2018 B. 2019 C. 4036 D. 4037
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱錐P-ABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=4x與點(diǎn)M(0,2),過C的焦點(diǎn),且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若 =0,則k= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正四棱柱中,已知AB=2, ,
E、F分別為、上的點(diǎn),且.
(1)求證:BE⊥平面ACF;
(2)求點(diǎn)E到平面ACF的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)為二次函數(shù),且f(x-1)+f(x)=2x2+4.
(1)求f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈[t,t+2],t∈R時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值(用t表示).
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