Question

設(shè)f（x）=|x+a|-2x，a＜0，不等式f（x）≤0的解集為M，且M⊆{x|x≥2}．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a取最大值時(shí)，求f（x）在[1，10]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用,集合

分析：（1）由絕對(duì)值的定義，去掉絕對(duì)值，得到不等式組，解出它們，求并集，即得M，再由集合的包含關(guān)系，即可得到a的取值范圍；
（2）由（1）得到a的最大值，進(jìn)而得到f（x）的表達(dá)式，運(yùn)用分段函數(shù)表示f（x），再判斷它的單調(diào)性，即可得到最大值．

解答： 解：（1）不等式f（x）≤0即|x+a|≤2x，等價(jià)于

x+a≥0 x+a≤2x

或

x+a＜0 -x-a≤2x

，
即有x≥-a或-

a

3

≤x＜-a，即x≥-

a

3

，
則不等式f（x）≤0的解集為M={x|x≥-

a

3

}，
由于M⊆{x|x≥2}，則-

a

3

≥2，解得a≤-6；
（2）由（1）知，a的最大值為-6，此時(shí)f（x）=|x-6|-2x，
當(dāng)x∈[1，10]，f（x）=

-x-6，6≤x≤10 -3x+6，1≤x＜6

，
易知f（x）在[1，10]上為減函數(shù)，
則f（x）在[1，10]上的最大值為f（1）=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法和集合的包含關(guān)系，考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．