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19.在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ.
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線C1\left\{\begin{array}{l}x=3+rcosα\\ y=-2+rsinα\end{array}\right.(α為參數(shù))與曲線C所表示的圖形都相切,求r的值.

分析 (1)直接利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程.
(2)把曲線C1的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,根據(jù)兩圓的圓心距等于半徑之和或等于半徑之差列出方程,解方程求得r的值.

解答 解:(1)在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ.
兩邊同時乘以ρ,可得ρ2=4ρsinθ,即 x2+y2=4y,即曲線C的直角坐標(biāo)方程為 (x-0)2+(y-2)2=4.
(2)曲線C1\left\{\begin{array}{l}x=3+rcosα\\ y=-2+rsinα\end{array}\right.(α為參數(shù)),即 (x-3)2+(y+2)2=r2,
根據(jù)它與曲線C所表示的圖形都相切,∴兩圓的圓心距等于半徑之和或等于半徑之差,
故有\sqrt{{(3-0)}^{2}{+(-2-2)}^{2}}=2+|r|,或 \sqrt{{(3-0)}^{2}{+(-2-2)}^{2}}=|2-|r||.
解得r=±3 或r=±7.

點(diǎn)評 本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法,圓和圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.

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