Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC=2，G，F(xiàn)分別是AD，PB的中點．
（Ⅰ）求證：CD⊥PA；
（Ⅱ）證明：GF⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （I）以D為原點建立空間直角坐標系，利用$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{DC}$=0，證得PA⊥CD；
（Ⅱ）利用$\overrightarrow{FG}$•$\overrightarrow{CB}$=0，$\overrightarrow{FG}$•$\overrightarrow{PC}$=0，去證GF⊥平面PCB．

解答 證明：（I）以D為原點建立空間直角坐標系則A（2，0，0）B（2，2，0）C（0，2，0）P（0，0，2）F（1，1，1）
 $\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{DC}$=0，∴$\overrightarrow{PA}$⊥$\overrightarrow{DC}$，
∴PA⊥CD；
（Ⅱ）設(shè)G（1，0，0）則$\overrightarrow{FG}$=（0，-1，-1），$\overrightarrow{CB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-2）
∴$\overrightarrow{FG}$•$\overrightarrow{CB}$=0，$\overrightarrow{FG}$•$\overrightarrow{PC}$=0，
∴FG⊥CB，F(xiàn)G⊥PC，
∵CB∩PC=C，
∴GF⊥平面PCB．

點評 本題考查線面、面面位置關(guān)系的證明．借助于空間向量的運算，降低了思維難度，增加了解題方法．