Question

【題目】某地計(jì)劃在水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站.過去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量（年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和.單位：億立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.

（1）求未來(lái)4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；

（2）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系：

年入流量
發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)	1	2	3

若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年凈利潤(rùn)為5000萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年維護(hù)費(fèi)與年入流量有如下關(guān)系：

年入流量
一臺(tái)未運(yùn)行發(fā)電機(jī)年維護(hù)費(fèi)	500	800

欲使水電站年凈利潤(rùn)最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？

Answer 1

【答案】（1）；（2）應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).

【解析】

（1）由題意求出年入流量在3個(gè)范圍：，，的概率.由二項(xiàng)分布可得在未來(lái)4年中至多有1年的年入流量超過120的概率；

（2）記水電站年凈利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元）.分別求安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)、安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)、安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的數(shù)學(xué)期望，選擇最大的方案.

（1）依題意，，

，

由二項(xiàng)分布，在未來(lái)4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為：

.

（2）記水電站年凈利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元）

①當(dāng)安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)時(shí).

由于水庫(kù)年入流量總大于40，所以1臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1.

此時(shí)的年凈利潤(rùn)，；

②當(dāng)安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)時(shí).此時(shí)，

若，則只有1臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此

若，則2臺(tái)發(fā)電機(jī)都能運(yùn)行，此時(shí)，因此

由此得的概率分布列如下：

	4500	10000
	0.2	0.8

所以，.

③當(dāng)安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)時(shí).此時(shí)，

若，則只有1臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此

若，則有2臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此

若，則3臺(tái)發(fā)電機(jī)同時(shí)運(yùn)行，此時(shí)，因此

由此得的概率分布列如下：

	4000	9200	15000
	0.2	0.7	0.1

所以，

綜上，欲使水電站年凈利潤(rùn)最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).