Question

（2013•中山一模）某書(shū)商為提高某套叢書(shū)的銷(xiāo)量，準(zhǔn)備舉辦一場(chǎng)展銷(xiāo)會(huì)．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)每套叢書(shū)售價(jià)定為x元時(shí)，銷(xiāo)售量可達(dá)到15一O.1x萬(wàn)套．現(xiàn)出版社為配合該書(shū)商的活動(dòng)，決定進(jìn)行價(jià)格改革，將每套叢書(shū)的供貨價(jià)格分成固定價(jià)格和浮動(dòng)價(jià)格兩部分，其中固定價(jià)格為30元，浮動(dòng)價(jià)格（單位：元）與銷(xiāo)售量（單位：萬(wàn)套）成反比，比例系數(shù)為l0．假設(shè)不計(jì)其它成本，即銷(xiāo)售每套叢書(shū)的利潤(rùn)=售價(jià) 一 供貨價(jià)格．問(wèn)：
（I）每套叢書(shū)定價(jià)為100元時(shí)，書(shū)商能獲得的總利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？
（Ⅱ）每套叢書(shū)定價(jià)為多少元時(shí)，單套叢書(shū)的利潤(rùn)最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）先確定每套叢書(shū)定價(jià)為100元時(shí)的銷(xiāo)售量，從而可得時(shí)每套供貨價(jià)格，根據(jù)銷(xiāo)售每套叢書(shū)的利潤(rùn)=售價(jià) 一 供貨價(jià)格，可求得書(shū)商能獲得的總利潤(rùn)；
（Ⅱ）先確定每套叢書(shū)售價(jià)范圍，再確定單套叢書(shū)利潤(rùn)，利用基本不等式，可求單套叢書(shū)的利潤(rùn)最大值．

解答：解：（Ⅰ）每套叢書(shū)定價(jià)為100元時(shí)，銷(xiāo)售量為15-0.1×100=5萬(wàn)套，
此時(shí)每套供貨價(jià)格為30+

10

5

=32元，（3分）
∴書(shū)商所獲得的總利潤(rùn)為5×（100-32）=340萬(wàn)元． （4分）
（Ⅱ）每套叢書(shū)售價(jià)定為x元時(shí)，由

15-0.1x＞0 x＞0

得，0＜x＜150，（5分）
依題意，單套叢書(shū)利潤(rùn)P=x-(30+

10

15-0.1x

)=x-

100

150-x

-30（7分）
∴P=-[(150-x)+

100

150-x

]+120，
∵0＜x＜150，∴150-x＞0，
由　(150-x)+

100

150-x

≥2

(150-x)• 100 150-x

=2×10=20，（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)150-x=

100

150-x

，即x=140時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)P_max=-20+120=100．
答：（Ⅰ）當(dāng)每套叢書(shū)售價(jià)定為100元時(shí)，書(shū)商能獲得總利潤(rùn)為340萬(wàn)元；（Ⅱ）每套叢書(shū)售價(jià)定為140元時(shí)，單套利潤(rùn)取得最大值100元． （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是建立單套叢書(shū)利潤(rùn)函數(shù)，再利用基本不等式確定其最值．