在正三棱柱中，AB＝2，，由頂點B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到頂點的最短路線與的交點記為M，求：

（I）三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長;

（II）該最短路線的長及的值;

（III）平面與平面ABC所成二面角（銳角）的大小

解：（I）正三棱柱的側(cè)面展開圖是長為6，寬為2的矩形

  其對角線長為.

 （II）如圖，將側(cè)面繞棱旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)面在同一平面上，點B運動到點D的位置，連接交于M，則就是由頂點B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到頂點C1的最短路線，其長為

    .

    ，,

    故.

    （III）連接DB，，則DB就是平面與平面ABC的交線

    在中,

                                            

    又,

    由三垂線定理得.

    就是平面與平面ABC所成二面角的平面角（銳角）,

    側(cè)面是正方形,

    .

    故平面與平面ABC所成的二面角（銳角）為.

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如圖所示，在正三棱柱中，AB＝3，，M為中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到M的最短距離為，設(shè)這條最短路線與的交點為N．求：(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長；(2)PC與NC的長．

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