【題目】已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展開式中x的系數(shù)為11.

(1)求x2的系數(shù)取最小值時(shí)n的值;

(2)當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時(shí),求f(x)展開式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和.

【答案】(1);(2)30

【解析】試題分析:1利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的的系數(shù),列出方程得到的關(guān)系;利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出的系數(shù),的關(guān)系代入得到關(guān)于的二次函數(shù),配方求出最小值;(2通過對(duì)分別賦值兩式子相加求出展開式中的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和.

試題解析:(1)由已知得C2C11,m2n11x2的系數(shù)為C22C2n(n1)

(11m)2.

m∈N*,m=5時(shí),x2的系數(shù)取得最小值22,此時(shí)n3.

(2)由(1)知,當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時(shí),m5,n3.

f(x)(1x)5(12x)3.

設(shè)這時(shí)f(x)的展開式為f(x)a0a1xa2x2a5x5,

x1,a0a1a2a3a4a5253359,

x=-1,a0a1a2a3a4a5=-1,兩式相減得2(a1a3a5)60

故展開式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為30.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù),屬于簡單題. 二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一,關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確,主要從以下幾個(gè)方面命題:(1)考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式;(可以考查某一項(xiàng),也可考查某一項(xiàng)的系數(shù))(2)考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;(3)二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.

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【題目】已知函數(shù) .

(Ⅰ)求證:當(dāng)時(shí), ;

(Ⅱ)若函數(shù)1+∞)上有唯一零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知有窮數(shù)列, , , ,若數(shù)列中各項(xiàng)都是集合的元素,則稱該數(shù)列為數(shù)列.

對(duì)于數(shù)列,定義如下操作過程中任取兩項(xiàng) ,將的值添在的最后,然后刪除, ,這樣得到一個(gè)項(xiàng)的新數(shù)列,記作(約定:一個(gè)數(shù)也視作數(shù)列).若還是數(shù)列,可繼續(xù)實(shí)施操作過程.得到的新數(shù)列記作, ,如此經(jīng)過次操作后得到的新數(shù)列記作

)設(shè), , ,請(qǐng)寫出的所有可能的結(jié)果.

)求證:對(duì)數(shù)列實(shí)施操作過程后得到的數(shù)列仍是數(shù)列.

)設(shè) , , , , , , , ,求的所有可能的結(jié)果,并說明理由.

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【題目】已知函數(shù),其中

)求的單調(diào)區(qū)間;

)若在上存在,使得成立,求的取值范圍.

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【題目】為響應(yīng)新農(nóng)村建設(shè),某村計(jì)劃對(duì)現(xiàn)有舊水渠進(jìn)行改造,已知舊水渠的橫斷面是一段拋物線弧,頂點(diǎn)為水渠最底端(如圖),渠寬為4m,渠深為2m.

(1)考慮到農(nóng)村耕地面積的減少,為節(jié)約水資源,要減少水渠的過水量,在原水渠內(nèi)填土,使其成為橫斷面為等腰梯形的新水渠(如圖(1)建立平面直角坐標(biāo)系),新水渠底面與地面平行(不改變渠寬),問新水渠底寬為多少時(shí),所填土的土方量最少?

(2)考慮到新建果園的灌溉需求,要增大水渠的過水量,現(xiàn)把舊水渠改挖(不能填土)成橫斷面為等腰梯形的新水渠(如圖(2)建立平面直角坐標(biāo)系),使水渠的底面與地面平行(不改變渠深),要使所挖土的土方量最少,請(qǐng)你設(shè)計(jì)水渠改挖后的底寬,并求出這個(gè)底寬.

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【題目】已知數(shù)列滿足, ,其中.

(1)設(shè),求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求出的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,是否存在正整數(shù),使得對(duì)于恒成立,若存在,求出的最小值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )

A. B. C. D.

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【題目】某工廠的A、B、C三個(gè)不同車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品的數(shù)量(單位:件)如下表所示.質(zhì)檢人員用分層抽樣的方法從這些產(chǎn)品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè).

車間

A

B

C

數(shù)量

50

150

100

(1)求這6件樣品中來自A、B、C各車間產(chǎn)品的數(shù)量;

(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè),求這2件商品來自相同車間的概率.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中, 為坐標(biāo)原點(diǎn), 是雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,直線與直線斜率之積為2,已知平面內(nèi)存在兩定點(diǎn)、,使得為定值,則該定值為________

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