Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn,滿足Tn=2Sn-n2,n∈N*.
（1）求a1的值;
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

Answer 1

【答案】
（1）解: 由題意a1=S1=T1,Tn=2Sn-n2,

令n=1得a1=2a1-1,∴a1=1.

（2）解: 由Tn=2Sn-n2①

得Tn-1=2Sn-1-(n-1)2(n≥2)②

①-②得Sn=2an-2n+1(n≥2),

驗(yàn)證n=1時(shí)也成立.

∴Sn=2an-2n+1③

則Sn-1=2an-1-2(n-1)+1(n≥2)④

③-④得an=2an-2an-1-2,

即an+2=2(an-1+2),

故數(shù)列{an+2}是公比為2的等比數(shù)列,首項(xiàng)為3,

所以an+2=3·2n-1,從而an=3·2n-1-2.

【解析】（1）根據(jù)T1=S1=a1即可求出a1；（2）根據(jù)Sn=得到Sn與an的關(guān)系式，再根據(jù)an=得到an與an-1的關(guān)系式，利用待定系數(shù)法構(gòu)造特殊數(shù)列即可求解.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．