Question

17．已知實數(shù)x，y滿足方程（x-2）²+（y-2）²=1．
（1）求$\frac{2x+y-1}{x}$的取值范圍；
（2）求|x+y+l|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）$\frac{2x+y-1}{x}$=2+$\frac{y-1}{x}$，$\frac{y-1}{x}$的幾何意義為圓上動點與定點（0，1）的斜率，過（0，1）的直線與圓相切時，斜率取最值，即可求$\frac{2x+y-1}{x}$的取值范圍；
（2）|x+y+l|=$\sqrt{2}•$$\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$，$\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$的幾何意義為圓上動點到直線x+y+1=0的距離，圓心到直線的距離加上半徑長為最大值，圓心到直線的距離減半徑長為最小值，即可求|x+y+l|的取值范圍．

解答 解：（1）$\frac{2x+y-1}{x}$=2+$\frac{y-1}{x}$，$\frac{y-1}{x}$的幾何意義為圓上動點與定點（0，1）的斜率，過（0，1）的直線與圓相切時，斜率取最值，因此$\frac{y-1}{x}$∈[0，$\frac{4}{3}$]，所以$\frac{2x+y-1}{x}$∈[2，$\frac{10}{3}$]；
（2）|x+y+l|=$\sqrt{2}•$$\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$，$\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$的幾何意義為圓上動點到直線x+y+1=0的距離，圓心到直線的距離加上半徑長為最大值，圓心到直線的距離減半徑長為最小值，$\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$∈[$\frac{5}{\sqrt{2}}$-1，$\frac{5}{\sqrt{2}}$+1]，所以|x+y+1|∈[5-$\sqrt{2}$，5+$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．