Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x－6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上．

(Ⅰ)求圓C的方程；

(Ⅱ)試判斷是否存在斜率為1的直線，使其與圓C交于A， B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，若存在，求出該直線方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.（Ⅱ）該直線存在，其方程為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）曲線與軸的交點(diǎn)為，

與軸的交點(diǎn)為，

故可設(shè)的圓心為，

則有，

解得

則圓的半徑為，

所以圓的方程為               4分

（Ⅱ）假設(shè)直線存在，依題意，設(shè)直線方程為，

并設(shè)，

由，消去

得到方程

由已知可得，判別式

因此，

從而，    ①

由于，可得

又，

所以     ②

由①，②得，滿足

所以該直線存在，其方程為           8分

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系，直線方程，平面向量的數(shù)量積。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，中檔題，曲線關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用圓中的“特征三角形”，轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，更為簡(jiǎn)潔。對(duì)存在性問(wèn)題，常常是先假設(shè)存在，應(yīng)用已知條件，確定其存在性，達(dá)到解體目的。本題較難。