Question

（2010•撫州模擬）給出下列命題：
①不等式|x-lgx|＜x+|lgx|成立的充要條件是x＞1；
②已知函數(shù)f(x)=

acosx，x≥0 x2-1，x＜0

在x=0處連續(xù)，則a=-1；
③當x∈[0，1]時，不等式sin

πx

2

≥kx恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是[0，1]；
④將函數(shù)y=tan(ωx+

π

4

)(ω＞0)的圖象按向量

a

=(

π

6

，0)平移后，與函數(shù)y=tan(ωx+

π

6

)的圖象重合，則ω的最小值為

1

6

．
你認為正確的命題是

①②

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：①不等式|x-lgx|＜x+|lgx|?|x-lgx|²＜（x+|lgx|）²?2x（lgx+|lgx|）＞0?

x＞0 lgx＞0

，從而可判斷①的正誤；
②利用 

lim

x→0+

acosx=a=

lim

x→0-

x2-1=-1，可判斷②的正誤；
③可令x=

1

2

，k=

2

，有

2

2

≥

2

2

，成立，從而可③的正判斷誤；
④y=tan(ωx+

π

4

)(ω＞0)

圖象按向量 a =( π 6 ，0)平移

y=tan（ω（x-

π

6

）+

π

4

）=tan（ωx+

π

6

）?ω=

1

2

-6k（k∈Z），由此可判斷④的正誤；

解答：解：∵|x-lgx|＜x+|lgx|?|x-lgx|²＜（x+|lgx|）²?2x（lgx+|lgx|）＞0?

x＞0 lgx＞0

?x＞1，
∴①正確；
∵函數(shù)f(x)=

acosx，x≥0 x2-1，x＜0

在x=0處連續(xù)，
∴

lim

x→0+

acosx=a=

lim

x→0-

x2-1=-1，
∴a=-1，即②正確；
在③中，不妨令x=

1

2

，k=

2

，有

2

2

≥

2

2

，成立，故實數(shù)k的取值范圍是[0，1]是錯誤的；
在④中，y=tan(ωx+

π

4

)(ω＞0)

圖象按向量 a =( π 6 ，0)平移

y=tan（ω（x-

π

6

）+

π

4

）=tan（ωx+

π

6

）?ω=

1

2

-6k（k∈Z），
令k=0，ωmin=

1

2

由此可判斷④是錯誤的；
故答案為：①②

點評：本題考查充要條件，函數(shù)的連續(xù)性的概念，正切函數(shù)的圖象，正弦函數(shù)的圖象，難點在于充要條件問題的合理的轉(zhuǎn)化、恒成立問題的靈活與綜合應(yīng)用，屬于難題