Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式
（Ⅱ）是否存在常數(shù)m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別是[m，n]和[2m，2n]？如存在，求出m，n的值；如不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用條件f（2）=0，且方程f（x）=x有等根，建立方程組，求f（x）的解析式
（Ⅱ）利用二次函數(shù)的單調性和值域之間的關系建立，方程關系．

解答：解：（Ⅰ）由題設，方程f （x）=x有等根，即ax²+（b-1）x=0有等根，
∴△=0⇒b=1．（2分）
又f （2）=0，
∴4a+2b=0，∴a=-

1

2

．（4分）
故f （x）=-

1

2

x²+x．（5分）
（Ⅱ）∵f （x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

，
∴2n≤

1

2

，即 n≤

1

4

．（8分）
而當n≤

1

4

時，f （x）在[m，n]上為增函數(shù)，
設滿足條件的m，n存在，則

f(m)=2m f(n)=2n

即

- 1 4 m2+m=2m - 1 4 n2+n=2n.

，
又m＜n≤

1

4

，由上可解得 m=-4，n=0．
即符合條件的m，n存在，其值為m=-4，n=0．（13分）

點評：本題主要考查利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的圖象和性質，要求熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質的應用．