Question

9．在等比數(shù)列{a_n}中，S_n是其前n項(xiàng)和，若a₃=3且2S_n+3S_n+2=5S_n+1，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$3×（\frac{2}{3}）^{n-3}$．

Answer 1

分析 解當(dāng)q=1時(shí)，2S_n+3S_n+2≠5S_n+1，因此q≠1．利用等比數(shù)列的求和公式代入化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：當(dāng)q=1時(shí)，2S_n+3S_n+2=（5n+6）a₁，5S_n+1=（5n+5）a₁，
∵（5n+6）a₁≠（5n+5）a₁，
∴2S_n+3S_n+2≠5S_n+1，
因此q≠1．
∴$2×\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$+3×$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n+2}）}{1-q}$=5×$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n+1}）}{1-q}$，化為：3q²-5q+2=0，q≠1，解得q=$\frac{2}{3}$．
∴a_n=${a}_{3}{q}^{n-3}$=$3×（\frac{2}{3}）^{n-3}$．
故答案為：a_n=$3×（\frac{2}{3}）^{n-3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．