Question

8．如圖，在三棱錐P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，AQ=2BD，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連接GH．
（1）證明：AB∥GH；
（2）求平面ABQ與平面EFQ所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由給出的D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，利用三角形中位線知識及平行公理得到DC平行于EF，再利用線面平行的判定和性質(zhì)得到DC平行于GH，從而得到AB∥GH；
（2）由題意可知BA、BQ、BP兩兩相互垂直，以B為坐標原點建立空間直角坐標系，設(shè)出BA、BQ、BP的長度，標出點的坐標，由此利用向量法能求出平面ABQ與平面EFQ所成二面角的正弦值．

解答 證明：（1）如圖，∵C，D為AQ，BQ的中點，∴CD∥AB，
又E，F(xiàn)分別AP，BP的中點，∴EF∥AB，
則EF∥CD．又EF?平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．
又CD?平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．
又AB∥CD，∴AB∥GH；
解：（2）由AQ=2BD，D為AQ的中點可得，三角形ABQ為直角三角形，
以B為坐標原點，分別以BA、BQ、BP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
設(shè)AB=BP=BQ=2，
則E（1，0，1），F(xiàn)（0，0，1），Q（0，2，0），
$\overrightarrow{EF}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{EQ}$=（-1，2，-1），
設(shè)平面EFQ的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EQ}=-x+2y-z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，2），
平面ABQ的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)平面ABQ與平面EFQ所成二面角的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{1×\sqrt{5}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{2}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

∴平面ABQ與平面EFQ所成二面角的正弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查線線平行的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．