【題目】已知數(shù)列滿足:.
(1)寫出數(shù)列的前6項(xiàng)的值;
(2)猜想數(shù)列與的單調(diào)性,選擇一種情形證明你的結(jié)論.
【答案】(1),,,,,;(2)證明見解析.
【解析】
(1)由已知得,由此依次求得;
(2)由歸納法得出數(shù)列與的單調(diào)性,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(1)∵,∴,
∴,,,,,
(2)由(1) 結(jié)論:是遞增數(shù)列,是遞減數(shù)列.
由,得,由知數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列,
①證是遞增數(shù)列,即證對一切正整數(shù)恒成立,
(i)顯然,即時(shí),不等式成立,
(ii)假設(shè)時(shí),不等式成立,即,∴,則,,即,
易知函數(shù)在上是增函數(shù),
∴,
∴,
∵,∴,即,
∴時(shí),不等式成立,
綜合(i)(ii)可知對一切正整數(shù),成立,即是遞增數(shù)列.
②證是遞減數(shù)列,即證對一切正整數(shù)恒成立,
(i)顯然,即時(shí),不等式成立,
(ii)假設(shè)時(shí),不等式成立,即,∴,則,,(舍去),
易知函數(shù)在上是增函數(shù),
∴,
∴,
∵,∴,即,
∴時(shí),不等式成立,
綜合(i)(ii)可知對一切正整數(shù),成立,即是遞減數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為,他想提高自己的投籃水平,制定了一個(gè)夏季訓(xùn)練計(jì)劃為了了解訓(xùn)練效果,執(zhí)行訓(xùn)練前,他統(tǒng)計(jì)了10場比賽的得分,計(jì)算出得分的中位數(shù)為15分,平均得分為15分,得分的方差為執(zhí)行訓(xùn)練后也統(tǒng)計(jì)了10場比賽的得分,成績莖葉圖如圖所示:
請計(jì)算該籃球運(yùn)動(dòng)員執(zhí)行訓(xùn)練后統(tǒng)計(jì)的10場比賽得分的中位數(shù)、平均得分與方差;
如果僅從執(zhí)行訓(xùn)練前后統(tǒng)計(jì)的各10場比賽得分?jǐn)?shù)據(jù)分析,你認(rèn)為訓(xùn)練計(jì)劃對該運(yùn)動(dòng)員的投籃水平的提高是否有幫助?為什么?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分10分)[選修4-4,極坐標(biāo)與參數(shù)方程選講]
在直角坐標(biāo)系x0y中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為p=4sin9
(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)已知曲線C3的極坐標(biāo)方程為=α,(0<α<x,p∈R),點(diǎn)A是曲線C3與C1的交點(diǎn),點(diǎn)B是曲線C3與C2的交點(diǎn),且A,B均異于原點(diǎn)O,且|AB|=4,求實(shí)數(shù)α的值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】假設(shè)某市2011年新建住房400萬m2,其中250萬m2是中低價(jià)房,預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi),該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外,每年新建住房中,中低價(jià)房的面積比上一年增加50萬m2,那么到哪一年底,
(1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2011年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4750萬m2?
(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列不是遞減數(shù)列,其前n項(xiàng)和為,且成等差數(shù)列。
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果,其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,有豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn),這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期,某中學(xué)擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=120°,AC=AB=2,AA1=3.
(1)求三棱柱ABC-A1B1C1的體積;
(2)若M是棱BC的一個(gè)靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn),求二面角A-A1M-B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖1直角梯形,,,,,為的中點(diǎn),沿將梯形折起(如圖2),使平面平面.
(1)證明平面;
(2)在線段上是否存在點(diǎn),使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.
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