已知橢圓E:
x24
+y2=1
,橢圓E的內(nèi)接平行四邊形的一組對邊分別經(jīng)過它的兩個焦點(如圖),則這個平行四邊形面積的最大值是
4
4
分析:設橢圓E的內(nèi)接平行四邊形為如圖的四邊形ABCD,根據(jù)橢圓方程算出兩個焦點的坐標,從而設AB方程為y=k(x+
3
),與橢圓方程聯(lián)解消去y得(1+4k2)x-8
3
k2x+4(3k2-1)=0,設A(x1,y1)、B(x2,y2),利用根與系數(shù)的關系與弦長公式算出|AB|=
4(1+k2)
1+4k2 
.設CD方程為y=k(x-
3
),利用平行線的距離公式算出直線AB、CD的距離為d=
2
3
|k|
1+k2
,從而得到平行四邊形ABCD的面積S=|AB|×d=8
3
k2(1+k2)
(1+4k2)2 
.最后采用換元法結合基本不等式求最值,即可求出當且僅當k=±
2
2
時,平行四邊形ABCD的面積S取得最大值為4.
解答:解:根據(jù)橢圓E方程,可得焦點坐標分別為F1(-
3
,0
),F(xiàn)2
3
,0

設橢圓E的內(nèi)接平行四邊形為四邊形ABCD,如圖所示
直線AB方程為y=k(x+
3
),直線CD方程為y=k(x-
3
),
則由
x2
4
+y2=1
y=k(x+
3
)
消去y,得(1+4k2)x-8
3
k2x+4(3k2-1)=0
設A(x1,y1),B(x2,y2),可得
x1+x2=
8
3
k2
1+4k2
x1x2=
4(3k2-1)
1+4k2

由此可得|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x 1x2
=
4
1+k2
1+4k2

∴|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
4(1+k2)
1+4k2 

由平行線之間的距離公式,得直線AB、CD的距離為d=
2
3
|k|
1+k2

因此,平行四邊形ABCD的面積S=|AB|×d=8
3
k2(1+k2)
(1+4k2)2 

令t=
k2(1+k2)
(1+4k2)2
=
(
1
4
+k2)2
(1+4k2)2
+
1
2
k
2
-
1
16
(1+4k2)2
=
1
16
+
1
2
k
2
-
1
16
(1+4k2)2

再令
1
2
k2-
1
16
=s,顯然當k2
1
8
時,s>0,t=
1
16
+
1
2
k
2
-
1
16
(1+4k2)2
1
16
,此時可取到最大值.
∵t=
1
16
+
s
64s2+24s+
9
4
=
1
16
+
1
24+(64s +
9
4s
)
1
16
+
1
24+2
64s×
9
4s
=
1
12

∴平行四邊形ABCD的面積S=8
3
t
8
3
×
1
12
=4,
當且僅當k=±
2
2
時,平行四邊形ABCD的面積S取得最大值為4
故答案為:4
點評:本題給出橢圓的內(nèi)接平行四邊形,在已知兩個焦點在平行四邊形的對邊上時,求平行四邊形面積的最大值,著重考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線位置關系和利用基本不等式求最值等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦.若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸,我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦.已知橢圓C:
x2
4
+y2=1

(1)過橢圓C的右焦點作一條垂直于x軸的垂軸弦MN,求MN的長度;
(2)若點P是橢圓C上不與頂點重合的任意一點,MN是橢圓C的短軸,直線MP、NP分別交x軸于點E(xE,0)和點F(xF,0)(如圖),求xE?xF的值;
(3)在(2)的基礎上,把上述橢圓C一般化為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,MN是任意一條垂直于x軸的垂軸弦,其它條件不變,試探究xE?xF是否為定值?(不需要證明);請你給出雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
中相類似的結論,并證明你的結論.

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(2013•房山區(qū)一模)已知橢圓C:
x2
4
+
y2
3
=1
和點P(4,0),垂直于x軸的直線與橢圓C交于A,B兩點,連結PB交橢圓C于另一點E.
(Ⅰ)求橢圓C的焦點坐標和離心率;
(Ⅱ)證明直線AE與x軸相交于定點.

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(2013•江蘇一模)已知橢圓E:
x24
+y2=1
的左、右頂點分別為A,B,圓x2+y2=4上有一動點P,P在x軸的上方,C(1,0),直線PA交橢圓E于點D,連結DC,PB.
(1)若∠ADC=90°,求△ADC的面積S;
(2)設直線PB,DC的斜率存在且分別為k1,k2,若k1=λk2,求λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
4
+
y2
3
=1
,拋物線C2y2=4x,過橢圓C1右頂點的直線l交拋物線C2于A,B兩點,射線OA,OB分別與橢圓交于點D,E,點O為原點.
(Ⅰ)求證:點O在以DE為直徑的圓的內(nèi)部;
(Ⅱ)記△ODE,△OAB的面積分別為S1,S2,問是否存在直線l使S2=3S1?若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

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