Question

【題目】設(shè)函數(shù)，已知曲線在點(diǎn)處的切線與直垂直.

（1）求的值；

（2）求函數(shù)的極值點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1） ；（2）見解析.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由曲線在點(diǎn)處的切線與直垂直，可知，即可求出；（2）求導(dǎo)，然后分類討論，確定單調(diào)性，進(jìn)而可以求出極值點(diǎn)。

（1）由題意知，，，解得.

（2）函數(shù)，定義域?yàn)?/span>，

則，令，，

則，

①當(dāng)時(shí)，，有，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上無極值點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，，令，有，，，

當(dāng)時(shí)，，即，得在上遞減，

當(dāng)時(shí)，，即，得在上遞增，

當(dāng)時(shí)，，即，得在上遞減，

此時(shí)有一個(gè)極小值點(diǎn)為，有一個(gè)極大值點(diǎn)為.

③當(dāng)時(shí)，，令，有，，

當(dāng)時(shí)，，即，得在上遞增，

當(dāng)時(shí)，，即，得在上遞減，

此時(shí)有唯一的極大值點(diǎn)為.

綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極小值點(diǎn)為，有一個(gè)極大值點(diǎn)為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上無極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一的極大值點(diǎn)為，無極小值點(diǎn).