Question

橢圓E的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，離心率為

1

2

．點P（1，

3

2

）、A、B在橢圓E上，且

PA

+

PB

=m

OP

（m∈R）；
（Ⅰ）求橢圓E的方程及直線AB的斜率；
（Ⅱ）求證：當(dāng)△PAB的面積取得最大值時，原點O是△PAB的重心．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e2=1-

b2

a2

=

1

4

及

1

a2

+

9

4b2

=1，解得a²=4，b²=3，由此能求出橢圓E的方程及直線AB的斜率．
（Ⅱ）設(shè)AB的方程為 y=-

1

2

x+t，代入橢圓方程得：x²-tx+t²-3=0，△=3（4-t²），|AB|=

1+ 1 4

×

3(4-t2)

=

15

2

×

4-t2

，點P到直線AB的距離為d=

|4-2t|

5

，故S_△PAB=

3

2

|2-t|

4-t2

=

1

2

3(2-t)3(2+t)

（-2＜t＜2）． 由此能求出△PAB的重心坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）由e2=1-

b2

a2

=

1

4

及

1

a2

+

9

4b2

=1，
解得a²=4，b²=3，…（1分）
橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1； …（2分）
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

PA

+

PB

=m

OP

得
（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，

3

2

），
即

x1+x2=2+m y1+y2=3+ 3 2 m

…（3分）
又

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1，
兩式相減得kAB=

y2-y1

x2-x1

=-

3

4

×

x1+x2

y1+y2

=-

3

4

×

2+m

3+ 3 2 m

=-

1

2

；…（5分）
（Ⅱ）證明：設(shè)AB的方程為 y=-

1

2

x+t，
代入橢圓方程得：x²-tx+t²-3=0，…（6分）
△=3（4-t²），|AB|=

1+ 1 4

×

3(4-t2)

=

15

2

×

4-t2

，
點P到直線AB的距離為d=

|4-2t|

5

，
S_△PAB=

3

2

|2-t|

4-t2

=

1

2

3(2-t)3(2+t)

（-2＜t＜2）． …（8分）
令f（t）=3（2-t）³（2+t），
則f’（t）=-12（2-t）²（t+1），
由f’（t）=0得t=-1或2（舍），
當(dāng)-2＜t＜-1時，f’（t）＞0，
當(dāng)-1＜t＜2時f’（t）＜0，
所以當(dāng)t=-1時，f（t）有最大值81，
即△PAB的面積的最大值是

9

2

；                 …（10分）
根據(jù)韋達定理得 x₁+x₂=t=-1，
而x₁+x₂=2+m，所以2+m=-1，得m=-3，
于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+

3

2

=3+

3m

2

+

3

2

=0，
因此△PAB的重心坐標(biāo)為（0，0）．        …（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，直線斜率的計算和求證：當(dāng)△PAB的面積取得最大值時，原點O是△PAB的重心．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．