Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+1

2x-1

，求f（x）的值域以及在（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）=

2x+1

2x-1

，可變?yōu)?^x=

y+1

y-1

＞0，解不等式即可求解．
（2）f（x₁）-f（x₂）=1+

2

2x1-1

-1-

2

2x2-1

=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

，判斷每個因式符號即可判斷差的符號．最后根據(jù)單調(diào)性的定義判斷．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

2x+1

2x-1

，
∴函數(shù)f（x）=

2x+1

2x-1

=1+

2

2x-1

，
得：2^x=

y+1

y-1

＞0，解得；y＞1或y＜-1，
所以f（x）的值域：（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）∵設(shè)0＜x₁＜x₂，∴1＜2 x1＜2 x2，2 x1-1＞0，2 x2-1＞0，2 x2-2 x1＞0
f（x₁）-f（x₂）=1+

2

2x1-1

-1-

2

2x2-1

=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），∵0＜x₁＜x₂，∴在（0，+∞）上的單調(diào)遞減．

點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運用，借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性，值域問題，主要是把函數(shù)解析式的分子分離變形．