Question

函數(shù)f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞），若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞1恒成立，則

x2+2x+a

x

＞1對任意x∈[1，+∞）恒成立，則a＞-x²-x對任意x∈[1，+∞）恒成立，令u=-x²-x，則a大于u的最大值．

解答： 解：若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞1恒成立，
則

x2+2x+a

x

＞1對任意x∈[1，+∞）恒成立，
則a＞-x²-x對任意x∈[1，+∞）恒成立，
令u=-x²-x，由函數(shù)的圖象為開口朝下，且以直線x=-

1

2

為對稱軸的拋物線，
故當(dāng)x=1時，u取最小值-2，
故a＞-2，
故實數(shù)a的取值范圍為（-2，+∞），
故答案為：（-2，+∞）

點評：本題考查的知識點是恒成立問題，其中將問題轉(zhuǎn)化為最值問題是解答的關(guān)鍵．