Question

小明家中有兩種酒杯，一種酒杯的軸截面是等腰直角三角形，稱之為直角酒杯(如圖1)，另一種酒杯的軸截面近似一條拋物線，杯口寬4 cm，杯深為8 cm(如圖2)，稱之為拋物線酒杯．

(1)請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出拋物線酒杯的方程．

(2)一次，小明在游戲中注意到一個(gè)現(xiàn)象，若將一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中，則任何玻璃球能觸及酒杯杯底．但若將這些玻璃球放入拋物線酒杯中，則有些小玻璃不能觸及酒杯杯底．小明想用所學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)研究一下，當(dāng)玻璃球的半徑r為多大值時(shí)，玻璃球一定會(huì)觸及酒杯杯底部．你能幫助小明解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

(3)在拋物線酒杯中，放入一根粗細(xì)均勻，長(zhǎng)度為2 cm的細(xì)棒，假設(shè)細(xì)棒的端點(diǎn)與酒杯壁之間的摩擦可以忽略不計(jì)，那么當(dāng)細(xì)棒最后達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，細(xì)棒在酒杯中位置如何？

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)如圖所示，以杯底中心為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x²＝2py(p＞0)．

　　將x＝2，y＝8代入拋物線方程，得p＝，

　　∴拋物線方程為x²＝y．

　　(2)設(shè)圓心在y軸正半軸上，且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程為x²＋(y－r)²＝r²，將之代入拋物線方程，消去x，得y²＋(2－2r)y＝0，∴y₁＝0，y₂＝2r－．

　　若要使玻璃球在杯中能觸及杯底，則要y₂＝2r－≤0，即當(dāng)0＜x≤時(shí)，玻璃球一定會(huì)觸及杯底．

　　(3)如上圖，由于細(xì)棒的粗細(xì)均勻，所以細(xì)棒的平衡狀態(tài)就是細(xì)棒的中點(diǎn)M(即細(xì)棒的重心)處于最低位置狀態(tài)．因此問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度為2 cm的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線x²＝y上移動(dòng)，當(dāng)線段AB的中點(diǎn)M到x軸的距離最短時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．最后求得M的坐標(biāo)為(±)．

　　思路解析：本題是有關(guān)拋物線在實(shí)際生活中的應(yīng)用問(wèn)題，在解決過(guò)程中應(yīng)當(dāng)注意建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系以及注意如何恰當(dāng)?shù)馗鶕?jù)題意將生活語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，從而將問(wèn)題解決．