Question

求函數(shù)f（x）=tan²x+2atanx+5在x∈[

π

4

，

π

2

]時的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：首先通過恒等變換，把函數(shù)變形成標(biāo)準(zhǔn)的二次函數(shù)，進(jìn)一步對參數(shù)a的范圍和函數(shù)的定義域比較來進(jìn)行分類討論，最后求出結(jié)果．

解答： 解：函數(shù)f（x）=tan²x+2atanx+5=（tanx+a）²-a²+5
所以函數(shù)為以-a為對稱軸，開口方向向上的拋物線．
由于x∈[

π

4

，

π

2

]
所以：tanx∈[1，+∞）
①當(dāng)-a≤1時，即a≥-1在tanx=1處取得最小值，
所以函數(shù)的最小值為：y_min=6+2a
②當(dāng)-a＞1時，即a＜-1在tanx=-a處取得最小值，
所以函數(shù)的最小值為：ymin=5-a2
綜上所述①當(dāng)a≥-1在tanx=1處取得最小值，函數(shù)的值域?yàn)椋簓∈[6+2a，+∞）
②當(dāng)a＜-1在tanx=-a處取得最小值，函數(shù)的值域?yàn)椋簓∈[5-a²，+∞）

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的值域問題的應(yīng)用，分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．