Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁=BA=BC=1，∠B₁BC=60°，∠ABC=90°，平面BB₁C₁C⊥平面ABC，M、N分別是BC的三等分點．
（1）求證：A₁N∥平面AB₁M；
（2）求證：AB⊥B₁M；
（3）求三棱錐A-B₁BC的體積V．

Answer 1

分析：（1）OM為△A₁BN的中位線，所以OM∥A₁N又∵A₁N?平面AB₁M，OM?平面AB₁M∴A₁N∥平面AB₁M．
（2）AB⊥BC，AB?平面ABC，所以AB⊥平面BB₁C，又B₁M?平面BB1C₁C，∴AB⊥B₁M．
（3）由AB⊥平面BB₁C₁C可得三棱錐的高是AB，底面為三角形BCB₁所以可求的三棱錐的體積為

1

3

×(

1

2

× 1×1×sin60°)×1=

3

12

．

解答：解（1）連A₁B交AB₁與O，連OM，
則OM為△A₁BN的中位線
∴OM∥A₁N
∵A₁N?平面AB₁M，OM?平面AB₁M
∴A₁N∥平面AB₁M．
（2）∵平面BB₁C₁C⊥平面ABC，而∠ABC=90°
∴AB⊥BC，AB?平面ABC
∴AB⊥平面BB₁C
∵B₁M?平面BB1C₁C
∴AB⊥B₁M．
（3）∵AB⊥平面BB₁C₁C
∴V=

1

3

×(

1

2

× 1×1×sin60°)×1=

3

12

點評：證明線面平行關鍵是在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線；證明線線垂直的關鍵是先把其中一條直線作為垂線另一條直線在一個平面內(nèi)通過證明線面垂直得到；求三棱錐的體積較難時應該考慮是否換一個定點使其高與底面積都易求．