設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f′(x)在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為g(x)。若在區(qū)間D上，g(x)＜0恒成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”。已知實(shí)數(shù)m是常數(shù)，，
（Ⅰ）若y=f(x)在區(qū)間[0，3]上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍；
（Ⅱ）若對(duì)滿(mǎn)足|m|≤2的任何一個(gè)實(shí)數(shù)m，函數(shù)f(x)在區(qū)間（a，b）上都為“凸函數(shù)”，求b-a的最大值。

解：由函數(shù)，得，
∴， 
（Ⅰ）若y=f(x)在區(qū)間[0，3]上為“凸函數(shù)”，則在區(qū)間[0，3]上恒成立，
∵x=0時(shí)，恒成立，
0＜x≤3時(shí)，恒成立等價(jià)于恒成立，
∵0＜x≤3時(shí)，時(shí)增函數(shù)，
∴m＞F（3），即m＞2，
∴若f(x)在區(qū)間[0，3]上為“凸函數(shù)”，則m＞2。
（Ⅱ）當(dāng)|m|≤2時(shí)，恒成立，|m|≤2時(shí)，恒成立，
當(dāng)x=0時(shí)，-3＜0顯然成立，
∵m的最小值是-2， 
∴，解得0＜x＜1，
當(dāng)x＜0，，
∵m的最大值是2，
∴，解得-1＜x＜0；
綜上可得-1＜x＜1，從而，
∴b-a的最大值等于2。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f(x)在R上連續(xù),則f(x)在R上為遞增函數(shù)是f′(x)＞0的…(    )

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013-2014學(xué)年湖南長(zhǎng)沙重點(diǎn)中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

設(shè)函數(shù)y=f(x)在(－,)內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)k，定義函數(shù)：

,取函數(shù)，若對(duì)任意的x∈(－,)，恒有fk(x)＝f(x)，則(    )

A. k的最大值為2    B. k的最小值為2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆江西省南昌市高三上學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

設(shè)函數(shù)y=f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)k，定義函數(shù)： ,取函數(shù)f(x)=2-x-e-x，若對(duì)任意的x∈(-∞,+ ∞)，恒有fk(x)＝f(x)，則(    )

A. k的最大值為2                       B. k的最小值為2

C. k的最大值為1                        D. k的最小值為1

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(1)一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0附近有定義.如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn),都有f(x)＜f(x0),則稱(chēng)f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)_______,記作________;如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn),都有f(x)＞f(x0),則稱(chēng)f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)________,記作_______.?

(2)極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為_(kāi)_______;函數(shù)取到極大值或極小值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),f′(x)在區(qū)間(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為(x),若區(qū)間(a,b)上(x)<0恒成立,則稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上的“凸函數(shù)”.已知f(x)=x4-mx3-x2,若對(duì)任意的實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足|m|≤2時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上的“凸函數(shù)”,則b-a最大值為(　　)

A.4         B.3         C.2         D.1

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