Question

給出若干數(shù)字按如圖所示排成三角形，其中最后一行各數(shù)依次是1，2，3，…，n，從倒數(shù)第二行起直到第一行，每個(gè)數(shù)分別等于下一行左、右兩數(shù)之和，第一行只有一個(gè)數(shù)M，這個(gè)數(shù)M叫n階“金字?jǐn)?shù)”，當(dāng)n=2013時(shí)，“金字?jǐn)?shù)”M為（　　）

Answer 1

分析：法一：設(shè)倒數(shù)第一，二，三，四行的數(shù)列分別為{a_n}，{b_n}，{c_n}，{d_n}，則有b₁+b_n-1=2（a₁+a_n）；c₁+c_n-2=2²（a₁+a_n）；d₁+d_n-3=2³（a₁+a_n），如此可得規(guī)律，即可得到結(jié)論；
法二：觀察數(shù)表，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每一行都是等差數(shù)列，且第一行公差為1，第二行公差為2，第三行公差為4，…，第2010行公差為2²⁰⁰⁹，第2011行只有M，得出M；
法三：從第一行為1，2，3 和1，2，3，4，5的兩個(gè)“小三角形”的例子，結(jié)合選項(xiàng)歸納得出結(jié)果，猜測(cè)出M．

解答：解：法一：設(shè)倒數(shù)第一，二，三，四行的數(shù)列分別為{a_n}，{b_n}，{c_n}，{d_n}，則有
b₁+b_n-1=（a₁+a₂）+（a_n-1+a_n）=2（a₁+a_n）；c₁+c_n-2=（b₁+b₂）+（b_n-2+b_n-1）=2²（a₁+a_n）；
d₁+d_n-3=（c₁+c₂）+（c_n-3+c_n-2）=2³（a₁+a_n），
如此規(guī)律下去，當(dāng)n=2013時(shí)，第2行的首尾兩數(shù)之和為2²⁰¹¹（a₁+a_n）=2014×2²⁰¹¹，即M=2014×2²⁰¹¹．
故選D
法二：最后一行公差為1；倒數(shù)第二行公差為2；…；第2行公差為2²⁰¹¹，第1行只有M，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得M=（1+2013）×2²⁰¹¹=2014×2²⁰¹¹．
故選D
法三：從最后一行為1，2，3 及1，2，3，4，5的兩個(gè)“小三角形”結(jié)合選項(xiàng)歸納得結(jié)果為（3+1）×2¹及（5+1）×2³，猜一般為（n+1）×2^n-2．
當(dāng)n=2013時(shí)，“金字?jǐn)?shù)”M=2014×2²⁰¹¹．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由數(shù)表探究數(shù)列規(guī)律的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題時(shí)，可以由簡(jiǎn)單的例子觀察分析，總結(jié)規(guī)律，得出結(jié)論．