Question

15．已知函數(shù)f（x）=xe^x-k（x∈R）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． $（-\frac{1}{e}，2{e^2}）$
• C． （0，2e²）
• D． $（-\frac{1}{e}，0）$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)和最值關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=xe^x-k的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=（x+1）e^x，
令f′（x）=0，則x=-1，
∵當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
故當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取最小值f（-1）=-e^-1-k，
若函數(shù)f（x）=xe^x-k有兩個(gè)零點(diǎn)，
則f（-1）=-e^-1-k＜0
即k＞-$\frac{1}{e}$，
又∵k≥0時(shí)，x∈（-∞，-1）時(shí)，f（x）=xe^x-k＜0恒成立，不存在零點(diǎn)，
故k＜0．
綜上-$\frac{1}{e}$＜k＜0，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中熟練掌握函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的對應(yīng)關(guān)系是解答的關(guān)鍵，利用導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．