Question

【題目】如圖1，在△ABC中， ， ，點D是BC的中點． （ I）求證： ；
（ II）直線l過點D且垂直于BC，E為l上任意一點，求證： 為常數，并求該常數；
（ III）如圖2，若 ，F(xiàn)為線段AD上的任意一點，求 的范圍．

Answer 1

【答案】（I）證明：延長AD到A1使得AD=DA1 ， 連接CA1 ， A1B， ∵D是BC的中點，
∴四邊形ACA1B是平行四邊形，
∴ = + ，
∵ ；
（II）證明：∵ = + ，
∴ （ ﹣ ）=（ + ）（ ﹣ ）= + ，
∵DE⊥BC，∴ =0，
∵ = （ ）= ，
∴ （ ﹣ ）=
（III）解：△ABC中，| |=2，| |=1，cosA= ， ，

∴| |= = ，
同理 + =2 ，
∴ （ + ）= 2 =| || |，
設| |=x，則| |= ﹣x（0 ），
∴ （ + ）=2x（ ﹣x）≤2 =1，當且僅當x= 時取等號，
∴ （ + ）∈（0，1]．

【解析】（ I）延長AD到A1使得AD=DA1 ， 連接CA1 ， A1B，證明四邊形ACA1B是平行四邊形，即可證明： ；（ II）證明 （ ﹣ ）=（ + ）（ ﹣ ）= + ，即可得出： 為常數，并求該常數；（III）確定 （ + ）=2x（ ﹣x），利用基本不等式，求 的范圍．