設(shè){an},{bn}是兩個(gè)數(shù)列,M(1,2),An數(shù)學(xué)公式為直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn).對n∈N*,若三點(diǎn)M,An,B共線,
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足:數(shù)學(xué)公式,其中{cn}是第三項(xiàng)為8,公比為4的等比數(shù)列.求證:點(diǎn)列P1(1,b1),P2(2,b2),…Pn(n,bn)在同一條直線上;
(3)記數(shù)列{an}、{bn}的前m項(xiàng)和分別為Am和Bm,對任意自然數(shù)n,是否總存在與n相關(guān)的自然數(shù)m,使得anBm=bnAm?若存在,求出m與n的關(guān)系,若不存在,請說明理由.

解:(1)因三點(diǎn)M,An,Bn共線,
(2分)
得an=2+2(n-1)故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n(4分)
(2)由題意cn=8•4n-3=22n-3,
由題意得(6分)
,
∴a1b1+a2b2+anbn=n(n+1)(2n-3)
當(dāng)n≥2時(shí),anbn=n(n+1)(2n-3)-(n-1)n(2n-5)=n(6n-8)(8分)
∵an=2n
∴bn=3n-4.
當(dāng)n=1時(shí),b1=-1,也適合上式,
∴bn=3n-4(n∈N*)(10分)
因?yàn)閮牲c(diǎn)P1、Pn的斜率(n∈N*)為常數(shù)
所以點(diǎn)列P1(1,b1),P2(2,b2),Pn(n,bn)在同一條直線上.(12分)
(3)由an=2n得;
bn=3n-4得(14分)
若anBm=bnAm,
=4m(m+1-2n)
∵m≥1
∴m=2n-1
∴對任意自然數(shù)n,當(dāng)m=2n-1時(shí),總有anBm=bnAm成立.(16分)
分析:(1)由題意知,由此可得an=2+2(n-1),所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.
(2)由題意得,由此可推導(dǎo)出bn=3n-4.從而推導(dǎo)出點(diǎn)列P1(1,b1),P2(2,b2),Pn(n,bn)在同一條直線上.
(3)由題設(shè)條件可知=4m(m+1-2n),所以對任意自然數(shù)n,當(dāng)m=2n-1時(shí),總有anBm=bnAm成立.
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè){an},{bn}是兩個(gè)數(shù)列,M(1,2),An(2,an),Bn(
n-1
n
,
2
n
)
為直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn).對n∈N*,若三點(diǎn)M,An,B共線,
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足:log2cn=
a1b1+a2b2+…+anbn
a1+a2+…+an
,其中{cn}是第三項(xiàng)為8,公比為4的等比數(shù)列.求證:點(diǎn)列P1(1,b1),P2(2,b2),…Pn(n,bn)在同一條直線上;
(3)記數(shù)列{an}、{bn}的前m項(xiàng)和分別為Am和Bm,對任意自然數(shù)n,是否總存在與n相關(guān)的自然數(shù)m,使得anBm=bnAm?若存在,求出m與n的關(guān)系,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè){an},{bn}均為正項(xiàng)等比數(shù)列,將它們的前n項(xiàng)之積分別記為An,Bn,若
An
Bn
=2n2-n
,則
a5
b5
的值為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,對每一個(gè)k∈N*,在ak與ak+1之間插入2k-1個(gè)2,得到新數(shù)列{bn},設(shè)An、Bn分別是數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和.
(1)a10是數(shù)列{bn}的第幾項(xiàng);
(2)是否存在正整數(shù)m,使Bm=2010?若不存在,請說明理由;否則,求出m的值;
(3)設(shè)am是數(shù)列{bn}的第f(m)項(xiàng),試比較:Bf(m)與2Am的大小,請?jiān)敿?xì)論證你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè){an},{bn}都是等差數(shù)列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,則a39+b39( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(任選一題)
(1)已知α、β為實(shí)數(shù),給出下列三個(gè)論斷:
①|(zhì)α-β|≤|α+β|②|α+β|>5  ③|α|>2
2
,|β|>2
2

以其中的兩個(gè)論斷為條件,另一個(gè)論斷為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的命題是
①③⇒②
①③⇒②

(2)設(shè){an}和{bn}都是公差不為零的等差數(shù)列,且
lim
n→∞
an
bn
=2
,則
lim
n→∞
b1+b2+…+bn
na2n
的值為
1
8
1
8

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