已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)是（1，0），兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)Q（4，0）且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的
對(duì)稱點(diǎn)為A1．求證：直線A1B過(guò)x軸上一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）；（2）定點(diǎn)（1，0）．

解析試題分析：（1）求橢圓C的方程，由題意，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，可求得，再根據(jù)橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．由等邊三角形的性質(zhì)，可求得和的關(guān)系式，可求得，進(jìn)而求得，則橢圓的方程可得；（2）求證：直線過(guò)軸上一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．這是過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，這類題的處理方法有兩種，一．可設(shè)出直線方程為，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系的思想找出定點(diǎn)．二．從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無(wú)關(guān)．本題可設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立消去，設(shè)出，，則可利用韋達(dá)定理求得和的表達(dá)式，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出定點(diǎn)，利用求得，從而得證．
試題解析：（1）橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)是（1，0），所以半焦距，又因?yàn)闄E圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，所以，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；·           ５分

（2）設(shè)直線：與聯(lián)立并消去得：
.
記，，，
.            8分
由A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，得，根據(jù)題設(shè)條件設(shè)定點(diǎn)為（，0），
得，即.
所以
即定點(diǎn)（1，0）.     13分
考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)A(－2,0)與點(diǎn)B(2,0)的斜率之積為－，點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；
(2)若點(diǎn)Q為曲線C上的一點(diǎn)，直線AQ，BQ與直線x＝4分別交于M，N兩點(diǎn)，直線BM與橢圓的交點(diǎn)為D.求證，A，D，N三點(diǎn)共線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在軸上的正射影為點(diǎn)，且滿足直線.
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓：（）過(guò)點(diǎn)，且橢圓的離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)在直線上，過(guò)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，且為線段中點(diǎn)，再過(guò)作直線.證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)在直線的下方.
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)C為W上一點(diǎn)，且，過(guò)兩點(diǎn)分別作W的切線，記兩切線的交點(diǎn)為. 判斷四邊形是否為梯形，并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知兩點(diǎn)，直線AM、BM相交于點(diǎn)M，且這兩條直線的斜率之積為.
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）記點(diǎn)M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，直線PE、PF與圓（）相切于點(diǎn)E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點(diǎn)分別為Q、R.
求△OQR的面積的最大值（其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，過(guò)橢圓E的右頂點(diǎn)作任意直線l，設(shè)直線l交拋物線于M、N兩點(diǎn)，且．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A、關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，線段PQ與x軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為CQ的中點(diǎn)，若直線AD與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為B，試判斷直線PA，PB是否相互垂直？并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，離心率．過(guò)該橢圓上任一點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點(diǎn)C在QP的延長(zhǎng)線上，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（3）設(shè)直線MN過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，且，求直線MN的方程.

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