Question

如圖5，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是棱的

中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿(mǎn)足．

（1）求證：；

（2）在棱上確定一點(diǎn)， 使，，，四點(diǎn)共面，并求

此時(shí)的長(zhǎng)；

（3）求平面與平面所成二面角的余弦值．

 

Answer 1

推理論證法：

（1）證明：連結(jié)，，因?yàn)樗倪呅?sub>是正方形，所以．

在正方體中，平面，平面，所以． 因?yàn)?sub>，，平面，

所以平面． 因?yàn)?sub>平面，所以．

（2）解：取的中點(diǎn)，連結(jié)，則．

在平面中，過(guò)點(diǎn)作，則．

連結(jié)，則，，，四點(diǎn)共面．

因?yàn)?sub>，，

所以．故當(dāng)時(shí)，，，，四點(diǎn)共面．

（3）延長(zhǎng)，，設(shè)，連結(jié)，

    則是平面與平面的交線(xiàn)．

過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)，

因?yàn)?sub>，，所以平面．

因?yàn)?sub>平面，所以．

所以為平面與平面所成二面角的平面角．

因?yàn)?sub>，即，所以．

在△中，，，

所以

         ．即．

因?yàn)?sub>，

所以．

所以．所以．

故平面與平面所成二面角的余弦值為．

空間向量法：

（1）證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線(xiàn)

分別為軸，軸，軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

，，

所以，．

因?yàn)?sub>，所以．所以．

（2）解：設(shè)，因?yàn)槠矫?sub>平面，

平面平面，平面平面，所以．（

所以存在實(shí)數(shù)，使得．

因?yàn)?sub>，，所以．

所以，．所以．

故當(dāng)時(shí)，，，，四點(diǎn)共面．

（3）解：由（1）知，．

設(shè)是平面的法向量，則即

取，則，．所以是平面的一個(gè)法向量．

而是平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面與平面所成的二面角為，則．

故平面與平面所成二面角的余弦值為．