Question

13．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為雙曲線的右頂點(diǎn)，且以點(diǎn)A為圓心的圓與雙曲線C 經(jīng)過第一、三象限的漸近線交于P、Q兩點(diǎn)，若∠PAQ=60°，且$\overrightarrow{OQ}$=4$\overrightarrow{OP}$，則雙曲線C的離心率為$\frac{2\sqrt{13}}{5}$．

Answer 1

分析 確定△QAP為等邊三角形，設(shè)AQ=2R，則OP=$\frac{2}{3}$R，利用勾股定理，結(jié)合余弦定理，以及離心率公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：因?yàn)椤螾AQ=60°，且$\overrightarrow{OQ}$=4$\overrightarrow{OP}$，
所以△QAP為等邊三角形，
設(shè)AQ=2R，
則OP=$\frac{2}{3}$R，
漸近線方程為y=$\frac{a}$x，A（a，0），
取PQ的中點(diǎn)M，則AM=$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
由勾股定理可得（2R）²-R²=（$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$）²，
所以（ab）²=3R²（a²+b²）①
在△OQA中，$\frac{（\frac{8R}{3}）^{2}+（2R）^{2}-{a}^{2}}{2•\frac{8}{3}R•2R}$=$\frac{1}{2}$，
所以$\frac{52}{9}$R²=a²②
①②結(jié)合c²=a²+b²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{13}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{13}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)，主要是離心率的求法，考查余弦定理、勾股定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．