Question

10．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}，若b₁=0，a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，當n≥2時，有b_n=b_n-1+a_n-1，則b₂₀₁₇=$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 由已知可得a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，結合b_n=b_n-1+a_n-1，利用累加法求得b₂₀₁₇ ．

解答 解：∵a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，且b_n=b_n-1+a_n-1，
∴b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2），
則$_{2}-_{1}={a}_{1}=1-\frac{1}{2}$，
$_{3}-_{2}={a}_{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，
…
$_{2017}-_{2016}={a}_{2016}=\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$．
∴$_{2017}-_{1}=1-\frac{1}{2017}=\frac{2016}{2017}$，
又b₁=0，
∴b₂₀₁₇=$\frac{2016}{2017}$．
故答案為：$\frac{2016}{2017}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，訓練了利用累加法求數(shù)列的通項公式，是中檔題．