Question

設函數．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）證明：對任意的x≥0，都有．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用導數的符號求出函數的單調區(qū)間，使導數大于0的區(qū)間就是函數的增區(qū)間，使導數小于0的區(qū)間就是函數的減區(qū)間．
（Ⅱ）令，利用導數F'（x）≤0，可得因而F（x）在[0，+∞）上遞減，
對于?x≥0，都有F（x）≤F（0）=0，不等式得到證明．
解答：解：（1）由已知得，（2分）
令f'（x）＞0，得2cosx+1＞0，即，
解得（4分）
令f'（x）＜0，得2cosx+1＜0，即，
解得（6分）
故單增區(qū)間為，
單減區(qū)間為．（k∈Z）
（2）令，
則，（8分）
故對于?x≥0，都有F'（x）≤0因而F（x）在[0，+∞）上遞減，（10分）
對于?x≥0，都有F（x）≤F（0）=0
因此對于?x≥0，都有（12分）
點評：本題考查利用導數來研究函數的單調性和單調區(qū)間，體現(xiàn)了等價轉化的數學思想．