Question

【題目】在某次會操活動中，領操員讓編號為的名學生排成一個圓形陣，做循環(huán)報數(shù)，領操員一一記錄報數(shù)者的編號，并要求報l、2的學生出列，報3的學生留在隊列中，并將編號改為此次循環(huán)報數(shù)中三名學生的編號之和．一直循環(huán)報數(shù)下去．當操場上剩余的學生人數(shù)不超過兩名時，報數(shù)活動結束．領操員記錄最后留在操場的學生編號（例如，編號為的九名學生排成一個圓形陣，報數(shù)結束后，只有原始編號為9的學生留在操場，此時，他的編號為45，領操員記錄下來的數(shù)據(jù)分別為l，2，3，4，5，6，7，8，9，6，15，24，45）．已知共有2011名學生參加會操．

（1）最后留在場內的學生最初的編號是幾號?

（2）求領操員記錄下的編號之和．

Answer 1

【答案】（1）1923；（2）

【解析】

記領操員記錄下的編號依次為，，…，，，…，，其和為．于是，

（1）在每次循環(huán)報數(shù)后，學生總人數(shù)減少2，但編號之和不變．

（2）若，經過次循環(huán)報數(shù)后產生個新編號，這些編號之和為；再經過次循環(huán)報數(shù)產生個新編號，這些編號之和也為；……經過共

次循環(huán)報數(shù)，最后剩下1名學生，他的編號為，且他的原始編號為（即當時，最后一名學生留在場上）．

由（1）知．

（3）若一圈學生人數(shù)為，且最后一名學生的編號為，則經過次循環(huán)報數(shù)后，產生個新編號，此時，學生人數(shù)變?yōu)?/span>，第1名學生編號為．

對于一般的奇數(shù)，令，滿足．

則，．

首先，前名學生，，…，稱為第一組，其編號和為．

記學生初始編號和．

由（1）、（3）知，經過次循環(huán)報數(shù)，學生人數(shù)變?yōu)?/span>，其中，第一名學生編號為稱為第二組；再經過次循環(huán)報數(shù)后，學生人數(shù)變?yōu)?/span>，稱為第三組；重復循環(huán)報數(shù)直到學生人數(shù)為1，此時，是第組．

最后留在場上的學生原始編號為，且．

當時，因，所以，，．

最后留在場上的學生原始編號為l923．故．