Question

20．若函數(shù)f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域恰好為[m，n]（m＜n），則稱[m，n]為函數(shù)f（x）的一個“等值映射區(qū)間”，已知下列函數(shù)：（1）y=x²-1；（2）y=2+log₂x；（3）y=2^x-1；（4）y=$\frac{1}{x-1}$．其中，存在唯一一個“等值映射區(qū)間”的函數(shù)序號為（2），（3）．

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域恰好為[m，n]，則稱f（x）為函數(shù)的一個“等值映射區(qū)間”．根據(jù)新定義可知，“等值映射區(qū)間”即是函數(shù)與另一函數(shù)y=x有兩個交點．即可判斷．

解答 解：根據(jù)新定義可知，“等值映射區(qū)間”即是函數(shù)與另一函數(shù)y=x有兩個交點．[m，n]（m＜n）上的值域恰好為[m，n]，可見[m，n]是單調(diào)遞增．
對于（1）y=x²-1；根據(jù)新定義可得：x²-1=x，方程有兩個解，即函數(shù)y=x²-1與函數(shù)y=x有兩個交點．但在同一增區(qū)間上只有一個，故①不是；
對于（2）y=2+log₂x；根據(jù)新定義可得：2+log₂x=x，即函數(shù)y=2+log₂x與函數(shù)y=x有兩個交點．且在定義域內(nèi)都是遞增，故②是；
對于（3）y=2^x-1；根據(jù)新定義可得：2^x-1=x，即函數(shù)y=2^x-1與函數(shù)y=x有兩個交點．且在定義域內(nèi)都是遞增，故③是；
對于（4）y=$\frac{1}{x-1}$；根據(jù)新定義可得：x²-x=1，方程有兩個解，即函數(shù)y=$\frac{1}{x-1}$與函數(shù)y=x有兩個交點．但在同一增區(qū)間是只有一個，故④不是；
故答案為：（2），（3）

點評 本題考查了新定義的理解和定義域，值域的關(guān)系的運用．屬于中檔題．