Question

2．已知x＞0，則$\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}+4}}$+$\sqrt{\frac{x}{x+2}}$的取值范圍是（0，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$]．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求值域．

解答 解：f（x）=$（{x}^{2}+4）^{-\frac{1}{2}}+（\frac{x}{x+2}）^{\frac{1}{2}}$，（x＞0）．
f′（x）=-$\frac{1}{2}（{x}^{2}+4）^{-\frac{3}{2}}•2x+\frac{1}{2}（\frac{x}{x+2}）^{-\frac{1}{2}}•\frac{2}{（x+2）^{2}}$=$\frac{-x}{\sqrt{（{x}^{2}+4）^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{x（x+2）^{3}}}$，
令f′（x）=0，$\frac{x}{\sqrt{（{x}^{2}+4）^{3}}}=\frac{1}{\sqrt{x（x+2）^{3}}}$⇒（x²+4）³=x³（x+2）³⇒x²+4=x（x+2）
得x=2，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
∴0＜f（x）≤f（2），即0＜f（x）≤$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
故答案為：（0，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，屬于中檔題．