Question

【題目】2020年春節(jié)期間，武漢市爆發(fā)了新型冠狀病毒肺炎疫情，在黨中央的堅強領(lǐng)導(dǎo)下，全國人民團結(jié)一心，眾志成城，共同抗擊疫情.某中學(xué)寒假開學(xué)后，為了普及傳染病知識，增強學(xué)生的防范意識，提高自身保護能力，校委會在全校學(xué)生范圍內(nèi)，組織了一次傳染病及個人衛(wèi)生相關(guān)知識有獎競賽(滿分100分)，競賽獎勵規(guī)則如下，得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲一等獎，其他學(xué)生不得獎.教務(wù)處為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機抽取了100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖.

（1）現(xiàn)從該樣本中隨機抽取兩名學(xué)生的競賽成績，求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎的概率；

（2）若該校所有參賽學(xué)生的成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：

(i)若該校共有10000名學(xué)生參加了競賽，試估計參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù))；

(ii)若從所有參賽學(xué)生中(參賽學(xué)生數(shù)大于10000)隨機抽取3名學(xué)生進行座談，設(shè)其中競賽成績在64分以上的學(xué)生數(shù)為，求隨機變量的分布列和均值.

附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.

Answer 1

【答案】（1）（2）(i)(ii)詳見解析

【解析】

（1）由樣本頻率分布直方圖得，有30人獲獎，70人沒有獲獎，設(shè)“抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎”為事件，利用組合數(shù)公式求出總的基本事件數(shù)和事件包含的基本事件數(shù)，代入古典概型概率計算公式即可求解；

（2）利用頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，代入平均數(shù)公式求出平均數(shù)的估計值，利用正態(tài)分布曲線的對稱性求出的概率，即可估計參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)；利用正態(tài)分布的性質(zhì)和二項分布的概率和期望公式求出隨機變量的分布列和均值即可.

（1）由樣本頻率分布直方圖得，樣本中獲一等獎的6人，獲二等獎的8人，

獲三等獎的16人，所以有30人獲獎，70人沒有獲獎，

從該樣本中隨機抽取兩名學(xué)生的競賽成績，基本事件總數(shù)為，

設(shè)“抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎”為事件，

則事件包含的基本事件的個數(shù)為，

由古典概型概率計算公式可得，，

所以抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎的概率.

（2）由樣本頻率分布直方圖得樣本平均數(shù)的估計值，所有參賽學(xué)生的成績近似服從正態(tài)分布.

（i）因為，所以，

參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)約為.

（ⅱ）由，得，即從所有參賽學(xué)生中隨機抽取1名學(xué)生，競賽成績在64分以上的概率為，所以隨機變量服從二項分布.

隨機變量的所有可能取得的值為0，1，2，3.

，

，

，

，

隨機變量的分布列為

	0	1	2	3

所以.