Question

【題目】如圖，將一塊半徑為2的半圓形紙板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半圓的直徑，上底CD的端點在半圓上，則所得梯形的最大面積為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：連接OD，過C，D分別作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分別為E，F． 設∠AOD=θ ．
OE=2cosθ，DE=2sinθ．
可得CD=2OE=4cosθ，
∴梯形ABCD的面積S=
=4sinθ（1+cosθ），
S2=16sin2θ（1+2cosθ+cos2θ）=16（1﹣cos2θ）（1+2cosθ+cos2θ）
令cosθ=t∈（0，1）．
則S2=16（1﹣t2）（1+2t+t2）=f（t）．
則f′（t）=﹣32（t+1）2（3t﹣1）．
可知：當且僅當t= 時，f（t）取得最大值： ．
因此S的最大值為： ．

【考點精析】本題主要考查了基本不等式的相關知識點，需要掌握基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：才能正確解答此題．