如圖,在六面體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,四邊形A1B1C1D1是邊長為1的正方形,DD1⊥平面A1B1C1D1,DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
(Ⅰ)求證:A1C1與AC共面,B1D1與BD共面;
(Ⅱ)求證:平面A1ACC1⊥平面B1BDD1;
(Ⅲ)求二面角A-BB1-C的大小(用反三角函數(shù)值表示).
解法1(向量法):
以為原點,以
所在直線分別為
軸,
軸,
軸建立空間直角坐標系
如圖,
則有.
(Ⅰ)證明:
.
.
與
平行,
與
平行,
于是與
共面,
與
共面.
(Ⅱ)證明:,
,
,
.
與
是平面
內(nèi)的兩條相交直線.
平面
.
又平面過
.
平面
平面
.
(Ⅲ)解:.
設為平面
的法向量,
,
.
于是,取
,則
,
.
設為平面
的法向量,
,
.
于是,取
,則
,
.
.
二面角
的大小為
.
解法2(綜合法):
(Ⅰ)證明:平面
,
平面
.
,
,平面
平面
.
于是
,
.
設分別為
的中點,連結(jié)
,
有.
,
于是.
由,得
,
故,
與
共面.
過點作
平面
于點
,
則,連結(jié)
,
于是,
,
.
,
.
,
.
所以點在
上,故
與
共面.
(Ⅱ)證明:平面
,
,
又(正方形的對角線互相垂直),
與
是平面
內(nèi)的兩條相交直線,
平面
.
又平面過
,
平面
平面
.
(Ⅲ)解:直線
是直線
在平面
上的射影,
,
根據(jù)三垂線定理,有.
過點在平面
內(nèi)作
于
,連結(jié)
,
則平面
,
于是,
所以,是二面角
的一個平面角.
根據(jù)勾股定理,有.
,有
,
,
,
.
,
,
二面角的大小為
.
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