Question

已知(

1

3

)2x-x2≤3x-2，求函數(shù)y=（log₂x+1）（log₂x-2）的最大值和最小值并求出取得最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x值．

Answer 1

分析：解指數(shù)不等式求得 1≤x≤2，令t=log₂x，則0≤t≤1，函數(shù)y=（t+1）（t-2），利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)y的最大值和最小值并求出取得最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x值．

解答：解：由已知(

1

3

)2x-x2≤3x-2，可得 3x2-2x≤3x-2，故 x²-2x≤x-2，解得 1≤x≤2．
令t=log₂x，則0≤t≤1，函數(shù)y=（log₂x+1）（log₂x-2）=（t+1）（t-2），
故當(dāng) t=

1

2

時(shí)，即x=

2

時(shí)，函數(shù)y取得最小值為-

9

4

，
當(dāng)t=0或1時(shí)，即x=1或2時(shí)，函數(shù)y取得最大值為-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)不等式、一元二次不等式的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．