設(shè)x、y∈R，在直角坐標平面內(nèi)，
a
=(x，y+
3
)，
b
=(x，y-
3
)且|
a
|+|
b
|=4．設(shè)點M（x，y）的軌跡為C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+1與C交于A、B兩點，k為何值時
OA
⊥
OB
？此時|
AB
|的值是多少？
分析：（Ⅰ）根據(jù)|
a
|+|
b
|=4，可判斷曲線C為橢圓，欲求 軌跡C的方程，只需求出橢圓的長半軸長，短半軸長，由
a
=(x，y+
3
)，
b
=(x，y-
3
)，|
a
|+|
b
|=4求出a，b即可．
（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），則A，B兩點為直線y=kx+1與橢圓交點，可用兩曲線方程聯(lián)立，求x1x2+y1y2，再根據(jù)
OA
⊥
OB
時，x1x2+y1y2=0，就可求出k只，再用弦長公式求|
AB
|．
解答：解：（Ⅰ）∵|
a
|+|
b
|=4，
∴
x2+(y+
3
)2
+
x2+(y-
3
)2
=4，
它表示以點F1(0，-
3)
、F2(0，
3)
的橢圓，其方程為x2+
y2
4
=1，這就是所求C的方程．
（Ⅱ設(shè)直線y=kx+1與C交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，
由
y=kx+1
x2+
y2
4
=1
消去y得4x2+（kx+1）2=4，整理得（4+k2）x2+2kx-3=0
其△=（2k）2+12（4+k2）＞0恒成立．
由韋達定理得x1+x2=-
2k
4+k2
，x1x2=-
3
4+k2
．
則y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=-
3k2
4+k2
-
2k2
4+k2
+1=
4-4k2
4+k2
，
|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
k2+3
4+k2

由
OA
⊥
OB
得，x1x2+y1y2=0，即-
3
4+k2
+
4-4k2
4+k2
=0，
解得k=±
1
2
，
此時|
AB
|=
1+k2
|x1-x2|=
4
65
17
．
．綜上得，當k=±
1
2
時，
OA
⊥
OB
，此時|
AB
|的值是
4
65
17
．
點評：本題考查了定義法求橢圓方程，以及只限于橢圓位置關(guān)系的判斷，注意設(shè)而不求思想的應用．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，設(shè)不等式組
-1≤x≤2
0≤y≤2
所表示的平面區(qū)域是W，從區(qū)域W中隨機取點M（x，y）．
（Ⅰ）若x，y∈Z，求點M位于第一象限的概率；
（Ⅱ）若x，y∈R，求|OM|≤2的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)全集U={（x，y）|x，y∈R}，集合A={（x，y）|xsinα+ycosα-2=0，α∈R}，則在直角平面上集合CuA內(nèi)所有元素的對應點構(gòu)成的圖形的面積等于
4π
4π
．

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(1)求點M(x，y)的軌跡C的方程；

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設(shè)全集U={（x，y）|x，y∈R}，集合A={（x，y）|xsinα+ycosα-2=0，α∈R}，則在直角平面上集合CuA內(nèi)所有元素的對應點構(gòu)成的圖形的面積等于    ．

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在平面直角坐標系xOy中，設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域是W，從區(qū)域W中隨機取點M（x，y）．
（Ⅰ）若x，y∈Z，求點M位于第一象限的概率；
（Ⅱ）若x，y∈R，求|OM|≤2的概率．

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