Question

已知橢圓

x2

2

+y²=1的左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，上頂點(diǎn)為A，直線AF1交橢圓于B．如圖所示沿x軸折起，使得平面AF₁F₂⊥平面BF₁F₂．點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（ I ） 求三棱錐A-F₁F₂B的體積；
（Ⅱ）圖2中線段BF₂上是否存在點(diǎn)M，使得AM⊥OB，若存在，請(qǐng)?jiān)趫D1中指出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)及三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出；
（Ⅱ）利用線線垂直的斜率之間的關(guān)系、線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由

x2

2

+y2=1得a²=2，b²=1，∴b=1，c=

2-1

=1．
∴上頂點(diǎn)A（0，1），左焦點(diǎn)F₁（-1，0），右焦點(diǎn)F₂（1，0）．
直線AF₁：y=x+1，聯(lián)立

y=x+1 x2+2y2=2

消去y點(diǎn)得到3x²+4x=0，
解得x=0或-

4

3

，
∴B(-

4

3

，-

1

3

)．
∴S△BF1F2=

1

2

|F1F2| |yB|=

1

2

×2×

1

3

=

1

3

．
∵平面AF₁F₂⊥平面BF₁F₂，平面AF₁F₂∩平面BF₁F₂=F₁F₂，AO⊥F₁F₂，
∴AO⊥平面BF₁F₂．
∴VA-BF1F2=

1

3

S△BF1F2×|AO|=

1

3

×

1

3

×1=

1

9

．
（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)M，使得AM⊥OB，由（Ⅰ）可知AO⊥平面BF₁F₂，∴AO⊥BO．
過(guò)點(diǎn)O作OM⊥OB交BF₂于點(diǎn)M，連接AM．
∵k_OB=

- 1 3

- 4 3

=

1

4

，∴k_OM=-4，∴直線OM的方程為y=-4x．
直線BF₂的方程為y=

0+ 1 3

1+ 4 3

(x-1)，化為y=

1

7

(x-1)．
聯(lián)立

y=-4x y= 1 7 (x-1)

，解得

x= 1 29 y=- 4 29

，
∴M(

1

29

，-

4

29

)，可知點(diǎn)M在線段BF₂上，
由以上作法可知：BO⊥平面AOM，∴BO⊥AM，滿足條件．
因此圖2中線段BF₂上存在點(diǎn)M，使得AM⊥OB，圖1中點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(

1

29

，-

4

29

)．

點(diǎn)評(píng)：是掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、線面與面面垂直的判定和性質(zhì)定理及三棱錐的體積計(jì)算公式、線線垂直的斜率之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．